Gedelova smrt matematike

Senzacionalni novinski naslovi govorili su o očaju mnogih što im se decenijska naučna karijera ruši samo zbog jednog naučnog rada mladog nepoznatog austrijskog doktoranta Ako biste zaustavili nekoga na ulici i pitali ga za ime nekog od poznatih fizičara 20.veka, većina bi bez problema odgovorila na to pitanje – Albert Ajnštajn, a neko bi možda rekao i Steven Hoking. Ako reč fizičar zamenite sa matematičar, malo je verovatno da biste kao odgovor čuli ime Kurta Gedela (1906-1978).

Tridesetih godina 20. veka to nije bio slučaj. Inače, tih godina je bilo veoma uzbudljivo biti matematičar. Značajna otkrića su se pojavljivala, činilo se, svake godine, odvodeći matematiku i matematičare na još uzbudljivija putovanja. Teme su se produbljivale i u pojedinim oblastima, kao matematičkoj logici, prelazile granice nauke i flertovale sa filozofijom. U svetlu svih tih novih otkrića, javila se potreba da se preispitaju osnove i da se uz pomoć matematičke logike, matematika definiše tačno i precizno, sa nadom da će se svako novo otkriće moći opisati tim jednostavnim jezikom. Među onima koji su se upustili u ova suštinska pitanja bio je i David Hilbert (1862-1943). Njegova ideja, danas poznata pod imenom Hilbertov program, bila je sledeća: napraviti konačan i kompletan sistem aksioma koji opisuje celokupnu matematiku i dokazati da je ovaj sistem bez kontradikcije. Hilbert je smatrao da bi se složeniji sistemi lako mogli svesti na jednostavnije i da bi se cela matematika mogla svesti na osnovnu aritmetiku. Mnogima se učinilo da ovaj program može biti i rešenje. I onda, 1931. godine, objavljen je rad koji je uzdrmao celokupnu matematičku zajednicu i čiji je autor bio Kurt Gedel.

On je ukazao da ako prihvatimo konačan sistem aksioma koje Hilbert predlaže, imaćemo uvek jedan izraz koji nećemo moći ni dokazati ni opovrgnuti upotrebom tih aksioma. Ako se izađe u veći sistem, dokaz je moguć, ali onda taj novi, veći sistem ima svoje aksiome koje će moći da se dokažu u samo još većem novom sistemu, i tako u nedogled. Reakcija matematičkih krugova bila je burna. Mnogi su se trudili da pronađu greške, da pobiju dokaze, da pokažu da je Hibertov program pravi put ka utemeljenju celokupne matematike. I pre 1931. godine, Hilbert je ignorisao rezultate Gedela na polju logike, što čudi jer su oni bili u direktnoj vezi sa njegovim programom. Razlog tome može biti čvrsto uverenje u ispravnost svojih teza, a možde je apstraktnost Gedelove teorije bila prevelik zalogaj za njega. Iz pisama Hilbertovog saradnika Pola Bernajsa(1888-1977) saznajemo da je Hilbert bio ljut na samog Bernajsa zbog sumnje u ispravnost određenih teza i da je bio veoma nezadovoljan po objavljivanju teorema o nepotpunosti 1931. godine.

Napomena u predgovoru prvog toma “Osnove matematike” da teoreme o nepotpunosti ipak nisu u stanju da sruše njegovu teoriju dokaza, je bilo jedino pominjanje Gedela u Hilbertovim spisima. Najugledniji među matematičarima epohe, Bertran Rasel (1872-1970) nije video teoreme o nepotpunosti kao dokaz da nešto nije u redu sa njegovom ili Hilbertovom teorijom. On je smatrao da je Gedelov pristup svakako bio avangardan u trenutku objavljivanja njegove “Principia Mathematica” 1910.godine, ali da je to 30-ih godina postao standard u logici. Možda najinteresantniju kritiku upućuje Ludvig Vitgenštajn (1889-1951), filozof zainteresovan za logiku, filozofiju jezika i filozofiju matematike. Po njemu teoreme nisu ništa drugo do logičko-jezički paradoks i da nije potrebno davati im bilo kakav značaj. Smatra da Gedel nije rešio problem jer nije ponudio strog matematički dokaz već samo igru reči koja je na korak od kontradikcije. Odbacili su njegove primedbe.

Bilo je i govora o tome da se Vitgenštajn previše usredsredio na sam jezik i značenje reči nego na sam logički dokaz te izvodeći pogrešne zaključke, pogrešno je protumačio ceo Gedelov rad. Lavina kritika i pismene korespodencije je potrajala nekoliko godina. Senzacionalni novinski naslovi govorili su o kraju matematike, o očaju mnogih što im se decenijska naučna karijera ruši samo zbog jednog naučnog rada mladog nepoznatog austrijskog doktoranta. Gedel je srušio sve ono u šta su matematičari 19. veka verovali. Ne postoji apsolutna istina, ne postoji jedna teorija koja može da objasni celokupnu matematiku niti bilo koju drugu nauku. Možemo saznati mnogo, ali ne možemo saznati sve. Savremenici poput Džona fon Nojmana i Pola Bernajsa su odmah uvideli značaj Gedelovog rada. Neopterećen velikim imenima, siguran u svoje ideje i dokaze, ukazao je na greške i promenio matematičku logiku i celokupnu matematiku za sva vremena. Uveo ih je u 20. vek i omogućio im da velikim koracima grabe napred. Nakon Gedela, možda matematika nije postala osnova za sve prirodne nauke, ali omogućila je nastanak novih poput računarstva i informatike koje su potom promenile i nauku i ljudske živote tokom 20. i 21. veka.

Goran Vukajlović - tragomzvezda.net